Родился 21 августа 1912 года в Павловске, в семье офицера кавалергардского полка (позже флигель- адъютанта Его Императорского Величества), Князя Константина Александровича Багратион – Мухранского (1889 – 1915) и Княгини Крови Императорской Татьяны Константиновны (1890 – 1979), будущей настоятельницы Елионского монастыря в Иерусалиме, приняв имя Тамары. 

Сохранилось воспоминания, что восприемниками от купели Теймураза Константиновича были сам Государь Император Николай II и его старшая дочь Великая Княжна Ольга Николаевна. По отцовской линии Князь Багратион-Мухранский принадлежал к побочной линии Дома Багратионов, правившей в Грузии до 1801 года, а по материнской линии он являлся внуком Великого Князя Константина Константиновича и правнуком Императора Николая I.

Отец Теймураза Константиновича погиб на фронте 19 мая 1915 года. После революции семья через Украину уехала в Швейцарию. Как известно, трое дядей Теймураза Константиновича приняли мученическую смерть в шахте близ Алапаевска 18 июля 1918 года. В 1981 году Князья Иоанн, Константин и Игорь Константиновичи были прославлены в лике Новомучеников в РПЦЗ.

После революции Татьяна вывезла детей в Швейцарию, а в 1927 году в Югославию, где Теймураз учился в Крымском, а затем в Первом Русском кадетском корпусе.

По окончании корпуса Теймураз поступил в югославскую Военную академию, а затем в течение десяти лет прослужил в гвардейском конно-артиллерийском полку югославской армии, в рядах которой принял участие в войне против Германии. Одно время Теймураз Константинович даже был личным адъютантом Короля Югославии Александра.

17 октября 1940 года в Белградии Теймураз Константинович женился на Екатерине (Кити) Стефановне Рачич ( 4. 7. 1919 – 20. 12. 1946), внучке известного сербского и югославского политика и дипломата Николы Пашича (1815 – 1926). Детей у супругов не было.

После войны он оказался с супругой в Париже. В декабре 1946 года Княгиня Екатерина Стефановна неожиданно умерла от воспаления лёгких.

27 ноября 1949 года в Нью – Йорке он женился на графине Ирине Сергеевне Чернышёвой – Безобразовой (р. 21. 9. 1926). Детей от обоих браков не было.

В 1979 году Теймураз Константинович получил назначение директором – исполнителем фонда. В это время Толстовский фонд продолжил оказывать большую помощь русской эмигрантом. Одновременно он в течении двадцати лет состоял председателем американской благотворительной организации «КЭР» и членом правления Американского Совета Добровольных Агентов Помощи, а также одним из учредителей «Интерак-шен» — организации, объединяющей 100 различных агентств помощи.

Долгие годы Князь Багратион-Мухранский являлся членом Нью-Йоркского объединение зарубежных кадет. На всех кадетских табельных днях он продолжал выносить знамя Полоцкого кадетского корпуса и никогда не терял связи со своими товарищами- кадетами. На годовых собраниях Нью-йоркского объединения кадет его всегда единогласно выбирали председателем собраний.

Теймураз Константинович возглавлял фонд помощи при Синоде РПЦЗ, а ещё он был председателем американского отделения Палестинского общества.

Он пользовался большим уважением, как со стороны русских, так и всех тех, с кем встречался во время своей многогранной деятельности. Теймураз Константинович умер у себя дома в Нью – Йорке 10 апреля 1992 года и был похоронен на кладбище Ново – Дивеево близ Нью – Йорка. В 2007 году уникальный архив Теймураза Константиновича, его вдова Ирина Сергеевна, передала Национальной Парламентской Библиотеки Грузии.